حساب دیفرانسیل و انتگرال

حساب دیفرانسیل و انتگرال

حساب دیفرانسیل و انتگرال که به اختصار حسابان نامیده می‌شود یکی از شاخه‌های اصلی ریاضیات است. این رشته از تحول جبر و هندسه ناشی شده‌است. حسابان یعنی دو حساب یا به معنی بهتر حساب دیفرانسیل و انتگرال، قدیمی‌ها می گفتند حساب جامع (انتگرال) و حساب فاضل (دیفرانسیل).

لایب‏نیتس حسابان را به این شکل معرفی کرد:

“روش تازه ‏ای برای محاسبۀ بیشینه و کمینه و نیز مماس‏ها… و یک نوع عجیب محاسبه.”
این رشته اکنون به شاخۀ مهمی از ریاضیات تبدیل شده است و با رفتار توابع سر و کار دارد.

این رشته را در زبان انگلیسی کَلکولِس (Calculus) می‌خوانند. واژه «کلکول» اصالتاً از زبان لاتین آمده و به معنای سنگریزه آهکی کوچک است که در چرتکه برای محاسبه به کار گرفته می‌شود. نام این رشته یادگار دورانی است که روم و یونان باستان با چیدن سنگریزه‌های آهکی (شن) بر زمین، مفاهیمی در حساب و هندسه را نمایش می‌دادند.

گوتفرید لایبنیتس و اسحاق نیوتون به طور همزمان و مستقل این حساب را کشف و طراحی کردند. امروزه ریاضیدانان از علائم پیشنهادی «لایب نیتس» برای دیفرانسیل استفاده می کنند و در حالیکه فیزیکدانان به پشتیبانی از «نیوتن» علائم او را به کار می برند. این معادلات برای توصیف دقیق ریاضی از پدیده ها و اتفاقات فیزیکی و غیرفیزیکی کاربرد دارند.

کاربرد های علم حسابان

وقتی صحبت از توصیف دقیق ریاضی می شود باید بدانیم که چه کمیت هایی یک پدیده را به دقت توصیف می کند. مثلا وقتی صحبت از یک جسم متحرک می شود، ما باید بدانیم چه کمیت هایی را درباره آن جسم بشناسیم تا بتوانیم تعریف دقیق از حرکت آن جسم داشته باشیم. مثلا باید بگوییم توپ فوتبال در این نقطه چه سرعتی داشته و در کدام جهت حرکت می کند.

البته کمیت های دیگری هم وجود دارد که به توصیف دقیق تر حرکت توپ فوتبال کمک می کند. مثلا سرعت آن در حال کم یا زیاد شدن است و این تغییر با چه روندی انجام می شود ( شتاب) همه این کمیت‌ها مفاهیم فیزیکی هستند که حتما با آنها آشنا هستید.

اما این کار به چه وسیله ای انجام می شود؟ همان طور که گفته شد برای توصیف حرکت یک پدیده باید حرکات آن را در هر لحظه بررسی کرد و آن را به تعداد بی نهایت حرکت ریز تقسیم کرد. برای این کار از حساب دیفرانسیل یا مشتق گیری استفاده می شود. وقتی شما معادله حرکت یک جسم را بدست آوريد می توانید با استفاده از مشتق گیری سرعت وشتاب آن را در نقطه ای معین به دست بیاورید. یعنی به جای بررسی کل یک پدیده آن را به جزئیات ریز تقسیم کرده و آن را بررسی کنید.

همین طور می توانید شیب خط مماس بر منحنی حرکت را تعیین کنید که نشان دهنده راستای حرکت جسم است. یعنی یک حرکت را به تعداد بی نهایت حرکت کوچک در حد جابجایی به اندازه یک نقطه تقسیم می کنیم. حالا اگر این بی نهایت نقطه یا حرکت تقسیم شده را داشته باشیم آن وقت می شود آنها را کنار هم قرار داد تا معادله کلی حرکت به دست آید. به این کار «انتگرال گیری» گفته می‌شود.

انتگرال در مثال؛

مثلا با انتگرال گیری از معادله سرعت یک جسم می شود به معادله مکان دست پیدا کرد. اینها نمونه هایی اندک و پیش پاافتاده ای از کاربردهای این علم هستند. کاربرد های علم حسابان به قدری زیاد است که حتی دامنه اش به جامعه شناسی و پزشکی هم می رسد.